Práctica 7: Matrices para aplicaciones especiales

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Práctica 7: Matrices para aplicaciones especiales#

En el ambiente de programación MATLAB® es posible generar matrices con características especiales, por ejemplo, la creación de una matriz identidad de dimenciones \(4\times 4\):

I=eye(4)

I = 4×4 double
     1     0     0     0
     0     1     0     0
     0     0     1     0
     0     0     0     1

Una matriz \(V\) de dimensiones \(1\times 5\), formada con unos, para escalarla o generar constantes:

V=ones(1,5)

V = 1×5 double
     1     1     1     1     1

La transpuesta de una matriz se usa en ciertas aplicaciones de las matemáticas y el álgebra lineal. En MATLAB®, la comilla simple implica hacer transpuesta a una matriz, por ejemplo, sean las matrices \(A\) y \(B\):

\[\begin{split} A=\begin{bmatrix}-1&4&3\\-4&10&15\\3&6&11\end{bmatrix}~~~~B=\begin{bmatrix}-2&7&5\end{bmatrix} \end{split}\]

A=[-1 4 3;-4 10 15; 3 6 11]
B=[-2 7 5]

A = 3×3 double
    -1     4     3
    -4    10    15
     3     6    11

B = 1×3 double
    -2     7     5

Las transpuestas de estas dos matrices son:

\[\begin{split} A^{T}=\begin{bmatrix}-1&-4&3\\4&10&6\\3&15&11\end{bmatrix}~~~~B^{T}=\begin{bmatrix}-2\\7\\5\end{bmatrix} \end{split}\]

En MATLAB se ecribe:

A'
B'

ans = 3×3 double
    -1    -4     3
     4    10     6
     3    15    11

ans = 3×1 double
    -2
     7
     5

Operaciones con matrices#

Cuando se realizan operaciones con matrices, es muy importante que exista compatibilidad entre las dimensiones de las mismas. Para que sea posible una multiplicación entre matrices, bebe existrir un puente que genera compatibilidad entre las matrices para poder multiplicarlas, además de que las dimensiones de las matrices que se están multiplicando dicatrán las dimenciones de la matriz resultante:

\[\begin{split} A=\begin{bmatrix}-1&4&3\\-4&10&15\\3&6&11\end{bmatrix} \end{split}\]

\[\begin{split} C=\begin{bmatrix}-2\\7\\5\end{bmatrix} \end{split}\]

La matriz \(X\) que resulta de multiplicar la matriz \(A\) por la matriz \(C\) tendrá dimensiones \(3\times 1\):

\[\begin{split} X=\begin{bmatrix}45\\153\\91\end{bmatrix} \end{split}\]

Se obtiene este resultado debido a las dimensiones de las matrices involucradas en el producto: \(A \in \mathbb{R}^{3\times 3}\) y \(C\in \mathbb{R}^{3\times 1}\). Se observa la compatibilidad de las matrices para la operación de multiplicación:

\[ (3\times 3)(3 \times 1) \Longrightarrow 3\times 1 \]

Por otro lado, si una matriz \(Y\) es el resultado de la multiplicacion de la matriz \(C\) por su transpuesta, se obtiene una matriz de dimensiones \(3 \times 3\) debido a que \(C \in \mathbb{R}^{3\times 1} \) y \(C^{T} \in \mathbb{R}^{1\times 3} \), dando como resultado las dimensiones:

\[ (3\times 1)(1 \times 3) \Longrightarrow 3\times 3 \]

\[\begin{split} Y=CC^T=\begin{bmatrix}-2\\7\\5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2&7&5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4&-14&-10\\-14&49&35\\-10&35&25\end{bmatrix} \end{split}\]

A=[-1 4 3;-4 10 15; 3 6 11]
C=[-2;7;5]

X=A*B'

Y=C*C'

A = 3×3 double
    -1     4     3
    -4    10    15
     3     6    11

C = 3×1 double
    -2
     7
     5

X = 3×1 double
    45
   153
    91

Y = 3×3 double
     4   -14   -10
   -14    49    35
   -10    35    25

Una operación muy popular en el álgebra lienal y de matrices es la represntación de una forma cuadrática, sean las matrices \(V\) y \(A\):

\[\begin{split} A=\begin{bmatrix}1&-4&13\\-14&8&5\\3&-6&11\end{bmatrix} \end{split}\]

\[\begin{split} V=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} \end{split}\]

La forma cuadrática del vector \(V\) es:

\[\begin{split} Z=\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-4&13\\-14&8&5\\3&-6&11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=V^TAV \end{split}\]

\[ Z=x^2-14xy+3xz-4xy-8y^2+6yz+13xz+5yz+11z^2 \]

Matrices diagonales#

La extracción de la diagonal principal de una matriz se puede realizar en MATLAB®, accediendo manuelamente a las localidade de la diagonal de interés y alamacenandolos en una matriz o arreglo para su posterior manipulación, por ejemplo, para una matriz:

\[\begin{split} A=\begin{bmatrix}-1&4&3\\-4&10&15\\3&6&11\end{bmatrix} \end{split}\]

Un vector que contiene a los elementos diagonal principal \(D=\begin{bmatrix}-1&10&15\end{bmatrix}^T\)es:

\[\begin{split} D=\begin{bmatrix}-1\\10\\11\end{bmatrix} \end{split}\]

En MATLAB®, esta extracción de la diagonal pirncipal se realiza con el siguiente código:

A=[-1 4 3;-4 10 15; 3 6 11]
D=[A(1,1) A(2,2) A(3,3)]'

A = 3×3 double
    -1     4     3
    -4    10    15
     3     6    11

D = 3×1 double
    -1
    10
    11

La extracción atomática se realiza usando el comando o función diag() como sigue:

D=diag(A)

D = 3×1 double
    -1
    10
    11

Es posible también extraer otras diagonales aparte de la diagonal principal si se define una segunda entrada o argumento j a la función o instrucción diag(). Por ejemplo, para la matriz \(A\) antes definida, se puede extraer la diagonal formada a partir de la segunda columna:

diag(A,1)

ans = 2×1 double
     4
    15

Se crear una matriz diagonal a partir de un vector, de manera tal que los elementos del vector formarán la diagonal principal de la matriz creada:

D=[1 -4 5 6]
diag(D)

D = 1×4 double
     1    -4     5     6

ans = 4×4 double
     1     0     0     0
     0    -4     0     0
     0     0     5     0
     0     0     0     6

Tambien se puede desplazar la diagonal principal en la matriz a crear, especicifando la columna de inicio deseada, en el momento de la creación de la matriz:

D=[1 -4 5 6]
diag(D,2)

D = 1×4 double
     1    -4     5     6

ans = 6×6 double
     0     0     1     0     0     0
     0     0     0    -4     0     0
     0     0     0     0     5     0
     0     0     0     0     0     6
     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     0

Matriz mágica#

Una matriz mágica es aquella que que tiene la característica de que la suma de los elementos de sus filas, colunas y diagonales es igual a la misma constante:

\[\begin{split} M=\begin{bmatrix}8&1&6\\3&5&7\\4&9&2\end{bmatrix} \end{split}\]

En esta matriz especial se cumple que la suma de los elementos en las columnas:

\[ \sum^{3}_{i=1}m_{i,1}=\sum^{3}_{i=1}m_{i,2}=\sum^{3}_{i=1}m_{i,3}=15 \]

Es igual a la suma de los elementos en las filas:

\[ \sum^{3}_{j=1}m_{1,j}=\sum^{3}_{j=1}m_{2,j}=\sum^{3}_{j=1}m_{3,j}=15 \]

A su vez igual a la suma de los elementos de la diagonal principal;

\[ \sum^{3}_{d=1}m_{d,d}=m_{1,1}+m_{2,2}+m_{3,3}=15 \]

En MATLAB®, el comando o instrucción magic(n) crea una matriz de dimensiones \(n\times n\) denominada matriz mágica, que cumple con las características antes mencionadas. Lo anterior se ejemplifica con las siguientes líneas de código:

M=magic(3) %Se crea una matriz mágica de dimensiones 3x3

suma_columnas=sum(M)%Se calcula la suma de los elementos de las columnas

suma_diagonal=sum(diag(M))%Se calcula la suma de los elementos en la diagonal principal

%Para poder hacer la suma de los elementos en las filas se utiliza la transpuesta
suma_filas=sum(M')

M = 3×3 double
     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2

suma_columnas = 1×3 double
    15    15    15

suma_diagonal = 15

suma_filas = 1×3 double
    15    15    15

Manipulación de dos variables usando matrices#

En MATLAB®, el comando meshgrid() toma los dos vectores de entrada y crea dos matrices bidimensionales que tiene el mismo número de filas y columnas. Por ejemplo, considérese la Tabla 7, donde cada uno de los elementos del vector X se multiplica por los elementos del vector V. Este conjuto de multiplicaciones equivale a la conversión se unidades si se considera a los elementos del vector V como los factores de conversión. En la Tabla 7 se muestran algunas conversiones, el resto se podría calcular a mano para poder completar la tabla, por ejemplo el producto \(0.1\times 0.35=0.035\) se colocaría en la primera fila y tercera columna de la tabla.

Tabla 7 Un ejemplo de tabla de conversiones.#
		V
X	0.15	0.35	0.24
0.1	0.015
0.2		0.07
0.3			0.072
0.4		0.014

Para aplicar el comando mesgrid(), el número de columnas se determina por el número de elementos en un vector V, y el número de filas se determina mediante el número de elementos de un segundo vector X. Esta operación se llama mapeo de vectores en un arreglo bidimensional, el mapeo de vectores permitirá completar de forma automática la Tabla 7 como se muestra abajo:

V=[0.15 0.35 0.24]
X=[0.1:0.1:0.4]
[nuevo_V,nuevo_X]=meshgrid(V,X)

V = 1×3 double
    0.1500    0.3500    0.2400

X = 1×4 double
    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000

nuevo_V = 4×3 double
    0.1500    0.3500    0.2400
    0.1500    0.3500    0.2400
    0.1500    0.3500    0.2400
    0.1500    0.3500    0.2400

nuevo_X = 4×3 double
    0.1000    0.1000    0.1000
    0.2000    0.2000    0.2000
    0.3000    0.3000    0.3000
    0.4000    0.4000    0.4000

La Tabla 7 se completa con el resultado de multiplicar los factores de conversión y los valores a convertir con la siguente instrucción:

nuevo_V.*nuevo_X

ans = 4×3 double
    0.0150    0.0350    0.0240
    0.0300    0.0700    0.0480
    0.0450    0.1050    0.0720
    0.0600    0.1400    0.0960

Dado que todas las filas del arreglo nuevo_V se repiten y, de la mismma manera las columnas nuevo_X se han copiado, es posible combinar a los arreglos nuevo_V y nuevo_X, por medio de un producto y obtener una tabla de resultados en los que la primera columna del arreglo nuevo_X es un arreglo con valores de referencia y nuevo_V es un arreglo de factores de conversión:

cm=[1:1.5:33];
% Se crea el vector con las equivalencias o factores de conversión
% de centímetros a pulgadas pies y yardas.

conversion= [0.393701 0.0328084 0.0109361];

% Se crean los vectores que almacenan la conversión
[factor_conversion,longitud]=meshgrid(conversion,cm);

% En la matriz llamada equivalencias se almacenan las 
% conversiones, una vez que se aplica la multiplicación por el
% conjunto de factores correspondiente
equivalencias=(factor_conversion.*longitud);

% Tabla de conversión de centímetros a pulgadas, pies y yardas
tabla=[cm;equivalencias']; % Se agrupan los datos convertidos 
%en una matriz que será la tabla de datos

% Finalmente, se imprime en la pantalla la tabla de equivalencias
disp("  Tabla de equivalencias de distancias ")
disp("centímetros   pulgadas    pies    yardas")
fprintf("   %6.3f     %6.3f    %6.3f   %6.3f \n",tabla)

  Tabla de equivalencias de distancias 
centímetros   pulgadas    pies    yardas
000      0.394     0.033    0.011 
500      0.984     0.082    0.027 
000      1.575     0.131    0.044 
500      2.165     0.180    0.060 
000      2.756     0.230    0.077 
500      3.346     0.279    0.093 
000      3.937     0.328    0.109 
500      4.528     0.377    0.126 
000      5.118     0.427    0.142 
500      5.709     0.476    0.159 
000      6.299     0.525    0.175 
500      6.890     0.574    0.191 
000      7.480     0.623    0.208 
500      8.071     0.673    0.224 
000      8.661     0.722    0.241 
500      9.252     0.771    0.257 
000      9.843     0.820    0.273 
500     10.433     0.869    0.290 
000     11.024     0.919    0.306 
500     11.614     0.968    0.323 
000     12.205     1.017    0.339 
500     12.795     1.066    0.355 

En el ambiente de programación MATLAB® es posible generar matrices con características especiales como las que se muestran en la Tabla 7.

Tabla 8 Tabla de formatos especiales.#
Comando de creación	Descripción	Resultado
`ones(m)`	Construye una matriz \(m\times m\) de unos	`A=ones(2)`\(=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}\)
`ones(m,n)`	Construye una matriz \(m\times n\) de unos	`A=ones(2,3)`\(=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}\)
`eye(m)`	Construye una matriz identidad \(m\times m\)	`A=eye(3)`\(=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}\)
`zeros(n)`	Construye una matriz \(n\times n\) de ceros	`A=zeros(2)`\(=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}\)
`diag(A)`	Obtiene la diagonal principal de una matriz	\(A=\begin{bmatrix}1&4&7\\2&-3&5\\-8&5&7\end{bmatrix}\),\(~~~~~~\)`diag(A)`\(=\begin{bmatrix}1\\-3\\7\end{bmatrix}\)
	Si se trata de un vector de tamaño \(n\), el comando creará una matriz cuadrada de dimensiones \(n \times n\) donde el vecor es la diagonal principal	\(V=\begin{bmatrix}-2&3&4\end{bmatrix}\),\(~~~~~~~~~~~~~~~~\)`diag(V)`\(=\begin{bmatrix}-2&0&0\\0&3&0\\0&0&4\end{bmatrix}\)
`flipud(A)`	Refleja una matriz de forma vertical	\(A=\begin{bmatrix}11&0&0\\0&-13&0\\0&0&7\end{bmatrix}\),\(~~~~\)`flipud(A)`\(=\begin{bmatrix}0&0&7\\0&-13&0\\11&0&0\end{bmatrix}\)
`magic(3)`	Construye una matriz mágica de dimensiones \(n\times n\)	`magic(V)`\(=\begin{bmatrix}8&1&6\\3&5&7\\4&9&2\end{bmatrix}\)
`:`	El operador : sirve para crear y seleccionar datos en matrices	\(V=\begin{bmatrix}-2&3&14&15&9\end{bmatrix}\),\(~~~~~~~~~~~~~~\)`V(2:4)`\(=\begin{bmatrix}3&14&15\end{bmatrix}\)
`...`	El operador elipsis … indica continuación en la línea siguiente	`X=[3,14,15,...`\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\)`4,7,8,19,20]`\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\) \(X=[3,14,15,4,7,8,19,20]\)

Ejercicio de la práctica 7#

Construya una matriz \(A\) de ceros de dimensiones \(4\times4\).
Construya una matriz identidad \(I\) de dimensiones \(4\times4\).
Construya una matriz \(B\) de dimensiones \(4\times 3\), tal que todos sus elementos sean iguales a \(\frac{\pi}{2}\)
Obtenga el resultado de la forma cuadrática de las matrices:

\[\begin{split} C=\begin{bmatrix}-2.5&3.2&15.4\\-11.3&3.5&7.8\\1.25&4.7&4.6\end{bmatrix}~~~~~D=\begin{bmatrix}-2.5&7.5&3.8\end{bmatrix} \end{split}\]

Construya una matriz mágica de tamaño \(7\times 7\).

a. Extraiga la diagonal inferior izquierda de la matriz

b. Extraiga la diagonal pricipal

c. Confirme que la suma de las filas, las columnas y las diagonales son iguales.

d. Multiplique la matriz mágica por su inversa.
Genere una matriz \(E\) de dimensiones \(3\times 3\) a partir de los vectores

\[\begin{split} F=\begin{bmatrix}-1.25&4.7&4.6\end{bmatrix}~~~~~G=\begin{bmatrix}-5.25\\7.35\\3.84\end{bmatrix} \end{split}\]

Aplique el comando meshgrid() para resolver el siguiente problema:

La presión \(P\) medida por un barómetro es igual al producto de la altura de la columna de un fluido \(h\), la densidad del fluido \(\rho\) y la aceleración de la gravedad, \(g\) como lo indica la sigiente ecuación:

\[ P=h\rho g \]

DE manera tal que la altura \(h\) se expresa como:

\[ h=\frac{P}{\rho g} \]

Escriba un programa que despliegue una tabla con los valores de altura \(h\) a los que se elevará una columna de líquido ante un rango de presiones de 0 a 8 kilo Pascales, para dos líquidos diferentes, agua pesada con \(\rho =1110kg/m^3\) y mercurio con una densidad \(\rho =13560kg/m^3\). Considere que un kilo Pascal equivale a 1000 Pascales.

Encuentre el área de un grupo de triángulos en centímetros cuadrados, cuya base varía de 2 a 15 pulgadas y cuya altura varía de 2 a 18 pulgadas. Reporte los cálculos en una tabla. Use un espaciamiento adecuado para sus variables de cálculo.