Análisis de sistemas de tiempo continuo.#
Una vez definido el concepto de señales y las operaciones que se realizan en ellas, es posible utilizar esas herramientas para analizar a los sistemas. En general se dice que un sistema es un ente que produce una o varia señales de salida como respuesta a estímulos o señales de entrada (Kamen and Heck [KH07]). En el contexto de las matemáticas, un sistema es una transformación. Una transformación en el contexto de los sistemas es un conjunto de fórmulas u operaciones matemáticas que tienen una gran diversidad de complejidades, desde la estructura más simples hasta los sistemas de ecuaciones integro-diferenciales.
En el contexto de la ingeniería, dos características muy deseables de los sistemas es que estos cumplan con dos propiedades principales: la linealidad y la invarianza en el tiempo.
Conceptos de linealidad e invarianza en el tiempo
Linealidad: Se dice que un sistema es lineal cuando es predecible y poco sensible ante cambios en condiciones iniciales, un sistema lineal es un ente físico que ofrece una salida expresada en forma de una formula o ecuación matemática perfectamente estructurada.
Invarianza en el tiempo: Un sistema es invariante en el tiempo si sus parámetros no cambian con el paso del tiempo como variable independiente, es decir, la expresión matemática, transformación, fórmula o ecuación permanece inmutable en estructura sin importar el momento en el tiempo en el que se aplique un estímulo y se produzca la salida específica.
Matemáticamente, se dice que un sistema es lineal si su estructura cumple con las siguientes expresiones, para \(k \in \mathbb{R}\).
La condición expresada en estas ecuaciones se conoce como la regla de aditividad. La cual establece que: La respuesta de un sistema lineal a la suma de dos señales de entrada o estímulos es igual a la suma de las respuestas individuales. La segunda ecuación se conoce como la regla de la homogeneidad, la cual establece que: El escalamiento por una constante de la señal de estímulo o entrada a un sistema, produce una salida del sistema escalada por la misma constante. La combinación de estas dos reglas dan como resultado el principio de superposición de los sistemas lineales ([Alk14]).
Principio de superposición:
Los sistemas expresados como una transformación matemática \(Transf\{\}\) son lineales si satisfacen el principio de superposición, para cualesquier par de señales \(x_1(t)\) y \(x_2(t)\) y para cualquier par de constantes arbitrarias \(k_1,k_2 \in \mathbb{R}\).